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フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

クロンダイク

フィボナッチ数列の一般項を計算する(※ただし有理数に限る)

さて、この FibNum こと Rational の二要素からなるタプルは、左に \( \sqrt \) が付かない項を、右に \( \sqrt \) が付く項を格納することしよう。つまり (1, 1) と書けば \( 1 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ + \sqrt \) のこと。 (0, 1) と書けば \( \sqrt \) のこと。 (1 % 2, 1 % 3) と書けば \( \frac + \frac \sqrt \) のことを表す。

式を書き下す

OK。さすがにちょっと見づらいがまあ仕方ない。でも fibDiv フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ として素直に除算を除算のまま書き下してしまった。除算は \( 0 \) で割れないとか面倒なこともあるので、乗算の形にしておきたい。

まず、 (1, 1) `fibDiv` (2, 0) は要するに \( \frac> \) のことだが、こんなものは \( \frac + \frac\sqrt \)、つまり (1 % 2, 1 % 2) としてしまえば良い。

後ろ側の \( \sqrt \) フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ で割る処理は、逆数であるところの \( \frac<\sqrt> \) 、つまり \( \frac<\sqrt> \) を掛ければ良い。\( \frac<\sqrt> \) ってことは \( フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 0 + \frac\sqrt \) だから、ここでの表現では (0, 1 % 5) ってことだ。

演算子を実装する : 累乗

\( n \) が大きいとそのまま \(n – 1\) 回の乗算をすることになってちょっとばかり遅い。二乗の結果が使えるところはどんどんそれを使って計算させることにしよう。乗算の回数が最大でも \( 2 \log \) 回で済む。

演算子を実装する : 乗算

FibNum の乗算とは何かと言うと、\( (a + b\sqrt)(c + d\sqrt) \) ってことで、つまり、

\begin & & (a + b\sqrt)(c + d\sqrt) \\ &=& フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ ac + ad\sqrt + bc\sqrt + 5bd \\ &=& (ac + 5bd) + (ad + bc)\sqrt \end

フィボナッチ数列とは、ソリティアである

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, .

これらはすべてをずらして書いただけですべて正しい式なので、両辺をそれぞれ足すことができる。

上記の同じ色の部分がすべて打ち消し合うため、結局とだけが残る。

ソリティア

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クロンダイク

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そして、このマス目の上でソリティアとして可能な方法で駒を動かしても、全体の合計を変化させません。

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何が嬉しいのか

このソリティアによる表現は「動かす前の値」と「動かした後の値」とが一致している、ということを言っているわけで、つまりこれが上記の関係式の証明にも使えるのです。うひょー! うれしい!

厳選!フィボナッチ・フルコース~フィボナッチ数のマニアックな世界へ~

ただし、\(F_1=F_2=1\)とします。これは漸化式といって、前の番号の数の情報によって新たな数が構成されていく仕組みになっています。こうして得られる数列をフィボナッチ数列、そしてフィボナッチ数列に現れる数をフィボナッチ数と呼びます。
フィボナッチ数は前2つの数を足すことによって構成していきます。例えば、1番目と2番目は\(1\)であることから3番目は\(1+1=2\)。4番目は\(1+2=3\)、5番目は\(2+3=5\)となります。最初のいくつかのフィボナッチ数を求めてみましょう。

2.フィボナッチ・フルコース

①.フィボナッチ数の整除性(オードブル)

\(p\) を\(5\)で割って\(1\)または\(フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 4\)余る素数とする(たとえば\(11\), \(19\)など)。このとき\(p-1\)離れたフィボナッチ数たちの差は必ず\(p\)の倍数になる。つまり、以下が成り立つ。

これは中々エキゾチック。ちょっと確かめてみましょう!
\(p=11\) とします。適当に8番目のフィボナッチ数\(フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ F_8=21\)をとってきましょう。定理によると\(p-1=10\)個進んだ18番目のフィボナッチ数\(フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ F_\)を見てみます。すると\(F_=2584\)。結構大きい数になりますね。果たして差は\(11\)の倍数になるのでしょうか?さっそく計算してみましょう。

$$F_-F_9=4181-34=4147=11 \times 377$$

②.Lameの定理(スープ)

なんと、Euclidの互除法の回数は\(5n\)フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 回で評価できるのです。しかも、隣り合うフィボナッチ数のペアの場合、最も作業回数が多い(めんどくさい)とのこと!
例えば、\(144\)と\(89\)のペアを考えて互除法を行いましょう。このとき小さい方の\(89\)の桁は\(2\)桁なので、定理によると\(5\times 2=10\)回も互除法を行わなければならないようです。実際に

第36回 いとしのフィボナッチ(後編)

【書籍刊行のお知らせ】
結城浩です。いつもご愛読ありがとうございます。
書籍化第一弾として『数学ガールの秘密ノート/式とグラフ』が 2013年7月に刊行されます。ぜひ応援してくださいね!

なお、書籍化第二弾は2013年12月刊行の予定です。

一つずらした自分になる

「だから、フィボナッチ数列というのはこういう数列になる。この数列を研究してみよう」

ユーリ 「うん」

「数列の研究ではまず — —」

ユーリ 「《階差数列を求める》んでしょ! ユーリ、やってみる!」

フィボナッチ数列の階差数列を求める

ユーリ 「へえっ! おもしろい! フィボナッチ数列は — —階差数列を求めると、一つずらした自分になるんだね!」

フィボナッチ数列の階差数列は、一つずらした自分になる

「確かにおもしろいな、その発見」

ユーリ 「だよね! ……あれ? でもこれはあたりまえかにゃ?」

「あたりまえというと?」

ユーリ 「だってさ、フィボナッチ数列って、二つ足したら次になるんでしょ? だったら、差をとったら一つずらした自分になるのはあたりまえじゃん」

「まあ、あたりまえといえばあたりまえなんだけどね。簡単な式変形でわかるよ」

ユーリ 「これでなんで《わかるよ》って言えんの?」

「だって、ほら、左辺の $F_ - F_$ という式は添字の部分をよく見ると、隣り合っている二つの項の差を取っていることがわかるよね。つまり階差を求めているわけだ」

ユーリ 「ほー」

「そして右辺の $F_n$ という式はフィボナッチ数列の一般項、つまり第 $n$ 項だよね。だから、この式 $F_ - F_ = F_n$ は《階差を取ると自分になる》ということを表現している」

ユーリ 「してないよ」

「え?」

ユーリ 「《階差を取ると自分になる》じゃなくて、《階差を取ると一つずらした自分になる》でしょ? だって、ほんとの階差なら $F_ - F_$ じゃなくて、 $F_ - F_n$ のはずだもん」

「あ、そ、そうだね。その通りだ」

ユーリ 「階差が自分になったら、 $2$ のべきじょうになっちゃうし」

「ユーリはよくそういうのを見つけるよね」

ユーリ はめんどうくさがりだけれど、妙なところできっちりミスを指摘するんだよな……)

ユーリ 「ねーお兄ちゃん。そんなことより、気になることあんだけど」

「なに?」

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ ユーリ 「ユーリがね、一つずらした自分になるって言ったときにね、お兄ちゃん、すぐに数式を出してきたじゃん?」

「ん? まあ、そうだね」

ユーリ 「あれはなんで?」

「なんでと言われても困るけど……」

ユーリ 「あのね、なんでお兄ちゃんはすぐに数式を出したの? 出そうと思ったの?」

「それは……きちんと答えるのは難しいな。まず、数列について何か確かなことを言おうとしたら、 たいていの場合は、数式を使うしかないからだよ。 《フィボナッチ数列の階差数列は一つずらした自分》を確かめるために、 フィボナッチ数列の定義の式を持ち出してきたんだ」

ユーリ 「……」

「ねえユーリ。お兄ちゃんはね、数学をするとき、具体例を作って考え、数式を使って確かめるのが好きだ。 学校の勉強のときもそうだし、自分で好きな数学の本を読むときもそうだよ」

ユーリ 「具体例を作って考え、数式を使って確かめる……」

「そう。だから、なんていうのかな — フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ —数学で数式を使うのは《いつもやってること》なんだよ。だからユーリがフィボナッチ数列について見つけた発見も、 《数式を使って確かめよう》とすぐ思った。それは、いつもやってること、あたりまえのことなんだ」

ユーリ 「ふーん……」

「水を飲むのに蛇口をひねるとか、ご飯を食べるのにお箸を持つとか、数学で数式を使うっていうのはそのくらい自然なことかもしれないよ。 もちろん場合によっては手で水をすくって飲むことも、おにぎりを手で食べるということもあるけれどね」

ユーリ 「へー……」

いつも大きく?

「それにしても、フィボナッチ数列の階差数列を取ると一つずらした自分になるっていう《ユーリの発見》は、とてもおもしろい発見だと思うよ」

ユーリ 「だよね。ところでさ、お兄ちゃん」

「なに?」

ユーリ 「等差数列とか、等比数列とか、フィボナッチ数列とかいろいろ教えてくれたけど、いつも大きくなるばっかりじゃん? フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 他の数列を考えてもいーよね」

「等差数列がいつも大きくなるとは限らないよ。この数列は等差数列だけど、だんだん小さくなってる」

$$ 100, 99, 98, 97, 96, 95, \ldots $$

ユーリ 「あ、そっか。この数列は $0$ で終わるの?」

「いやいや、そこから先はマイナスに突入する」

$$ 100, 99, 98, 97, 96, 95, \ldots, 2, 1, 0, -1, -2, -3, \ldots $$

ユーリ 「あー、そりゃそっか」

「小さくなる等差数列は 公差 ( こうさ ) がマイナスだってことだね。それは階差数列を調べてみれば一目瞭然だ」

ユーリ 「ふむふむ」

「等比数列でも小さくできる。公比を $1$ より小さな正の数にすればいい。たとえば $\frac$ とかね」

ユーリ 「あ、そっか。それで小さくなるか。公比がマイナスでも小さくなっていくよね」

「いやいやだめだよ。公比がマイナスなら、小さくなったり大きくなったりする」

ユーリ 「なんで……あそっか!』

「公比がマイナスだと、かけるたびに正の数と負の数が交互に反転するからね」

ユーリ 「そーか、そーだね……ねーお兄ちゃん。もっと変な風に大きくなったり小さくなったりする数列作ってよ!」

フィボナッチを活用した取引方法

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店頭外国為替証拠金取引は、取引金額(約定代金)に対して少額の取引必要証拠金をもとに取引を行うため、取引必要証拠金に比べ多額の利益を得ることもありますが、その一方で短期間のうちに多額の損失を被る可能性があります。外貨での出金はできません。経済指標の結果によっては価格が急激に変動し、思わぬ損失が生ずるおそれがあります。また、その損失の額が預託した証拠金の額を上回ることもあります。取引価格、スワップポイント等は提供するサービスによって異なり、市場・金利情勢の変化等により変動しますので、将来にわたり保証されるものではありません。取引価格は、買値と売値に差があります。決済方法は反対売買による差金決済となります。店頭外国為替証拠金取引にあたっては必要な証拠金の額は提供するサービス及び取引通貨ペアごとに異なり、取引価格に応じた取引額に対して一定の証拠金率(「SBI FXTRADE」個人のお客様:4%(レバレッジ25倍)、ただし、ロシアルーブル/円およびブラジルレアル/円は10%(レバレッジ10倍)、法人のお客様:一般社団法人金融先物取引業協会が毎週発表する通貨ペアごとの為替リスク想定比率*(通貨ペアごとにそれぞれレバレッジが異なります)、「積立FX」個人および法人のお客様:100%(レバレッジ1倍)、50%(レバレッジ2倍)、33.334%(レバレッジ3倍))の証拠金が必要となります。
*為替リスク想定比率は、金融商品取引業等に関する内閣府令第117条第31項第1号に規定される定量的計算モデルを用い算出します。
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