初心者向けFX入門講座

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列
フィボナッチ比率を用いた数ある手法の中でも突出してメジャーなのが、フィボナッチ・リトレースメントであるといえるでしょう。

フィボナッチ数列の等式

(1) $F_k+F_ = F_$ $(1 \leqq k フィボナッチ数列 \leqq n)$ の辺々を加えると \[\sum _^nF_k+\sum _^nF_ = \sum _^nF_\] となるから, \[\sum _^nF_k+\sum _^F_k = \sum _^F_k = F_+\sum _^F_k-F_2\] フィボナッチ数列 が成り立つ. 両辺から $\displaystyle\sum _^F_k$ を引くと, 求める等式が得られる. (2) (i) $F_1 = F_2 = 1$ から, $n = 1$ のとき等式が成り立つ. (ii) $n = m$ ($m$: 正の整数)のとき等式が成り立つとすると, \[\begin\sum _^mF_+F_ &= F_+F_ \\ &= F_ = F_ \end\] となり, $n = m+1$ のとき等式が成り立つ. (i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して, 等式が成り立つ. (3) (i) $F_2 フィボナッチ数列 フィボナッチ数列 = F_3-1 = 1$ から, $n = 1$ のとき等式が成り立つ. (ii) $n フィボナッチ数列 = m$ ($m$: 正の整数)のとき等式が成り立つとすると, \[\begin \sum _^mF_+F_ &= F_-1+F_ \\ &= F_-1 = F_-1 \end\] となり, $n = m+1$ のとき等式が成り立つ. (i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して, 等式が成り立つ.

ゼッケンドルフの定理

定理《ゼッケンドルフの定理, ゼッケンドルフ, $1939$ 年》

定義《ゼッケンドルフ表現》

定理の証明

  • $i_1 = 2$ のとき. \[ n-1 = F_+\cdots フィボナッチ数列 +F_\] は $n-1$ のゼッケンドルフ表現である.
  • $i_1 > 2,$ $i_1$ フィボナッチ数列 が奇数のとき. $F_-1 = F_2+\cdots +F_$ であるから, \[ n-1 = F_2+\cdots +F_+F_+\cdots +F_\] であり, これは $n-1$ のゼッケンドルフ表現である.
  • $i_1 > 2,フィボナッチ数列 $ $i_1$ が偶数のとき. $F_-1 = F_3+\cdots +F_$ であるから, \[ n-1 = F_2+\cdots +F_+F_+\cdots +F_\] であり, これは $n-1$ のゼッケンドルフ表現である.

例《ゼッケンドルフ表現》

$1$ から $12$ までの整数は, \[\begin 1 &= F_2, & 7 &= F_5+F_3, \\ 2 &= F_3, & 8 &= F_6, \\ 3 &= フィボナッチ数列 フィボナッチ数列 F_4, & 9 &= F_6+F_2, \\ 4 &= F_4+F_2, & 10 &= F_6+F_3, \\ 5 &= F_5, & 11 &= F_6+F_4, \\ 6 &= F_5+F_2, & 12 &= F_6+F_4+F_2 \end\] と表される.

カッシーニの公式

定理《カッシーニの公式, $1680$ 年》

シューブの公式

定理《シューブの公式, $1950$ 年》

(i) $5F_0<>^2+4 = 4 = L_0<>^2$ から, $n = 0$ のとき等式が成り立つ. (ii) $n > 0$ のとき. フィボナッチ数列とリュカ数列の相互関係, カッシーニの公式により, \[\begin L_n<>^2-4\< F_n<>^2+(-1)^n\> &= (F_+F_)^2-4F_F_ \\ &= (F_-F_)^2 = F_n<>^2 \end\] となるから, $5F_n<>^2+4(-1)^n = L_n<>^2$ が成り立つ. (i), (ii) から, すべての非負整数 $n$ に対して等式が成り立つ.

フィボナッチ数の判定法

定理《フィボナッチ数の判定法, ゲッセル, $1972$ 年》

証明: $(\Longleftarrow )$ の証明は $2$ 次体の整数論を用いると簡潔に記述できる(フィボナッチ数列 フィボナッチ数列 高校数学の範囲で証明できる, 後述).

$(\Longrightarrow )$ は, シューブの公式から従う.
$(\Longleftarrow )$ を示す. $5\cdot 0+4 = 2^2$ は平方数であり, $0 = F_0$ はフィボナッチ数であるから, $\nu > 0$ とする. $5\nu ^2\pm 4$ が平方数であるとする. このとき, ある非負整数 フィボナッチ数列 $\mu$ を用いて \[ 5\nu ^2\pm 4 = \mu ^2 \quad フィボナッチ数列 \cdots [1]\] と書ける. $\mu ^2-5\nu ^2 = \pm 4$ であるから, \[\frac<\mu +\nu\sqrt 5>\cdot\frac<\mu -\nu\sqrt 5> = \pm 1 \quad \cdots [2]\] が成り立つ. $[1]$ から $\mu ^2 \equiv \nu ^2 \pmod 2$ であるので, $\mu$ と $\nu$ フィボナッチ数列 の偶奇は一致する. よって, $\varepsilon = \dfrac<\mu +\nu\sqrt 5>$ は $2$ 次体 $K = \mathbb Q(\sqrt 5)$ の整数環 $O_K$ に属する. さらに, $[2]$ フィボナッチ数列 から $\varepsilon$ のノルムは $\pm 1$ であるので, $\varepsilon$ は $O_K$ の単数である. $\varphi = \dfrac,$ $\tilde\varphi = \dfrac$ とおく. $O_K$ の単数は $\pm\varphi ^n$ ($n$: 整数) の形に表されるが, $\nu > 0$ から $\varepsilon > 1$ であり, $\varphi > 1$ であるので, ある正の整数 $n$ について $\varepsilon フィボナッチ数列 = \varphi ^n$ となる. よって, ビネの公式により, \[\varepsilon = \frac<(\varphi ^n+\tilde\varphi ^n)+(\varphi ^n-\tilde\varphi ^n)> = \frac\] が成り立つ. $1,$ $\sqrt 5$ は $\mathbb Q$ 上線形独立であるから, 両辺の $\sqrt 5$ の係数を比較すると, $\nu = F_n$ が得られる.

  • $d$ を $4$ で割った余りが $1$ であるとし, 偶奇の等しい整数 $a_1,$ $a_2$ を用いて $\dfrac$ の形に表される実数全体の集合を $O_K$ とおく($K$ の整数環(ring of integers)と呼ぶ). このとき, フィボナッチ数列 $O_K$ のすべての要素 $\varepsilon$ に対して, \[\varepsilon ^ \in O_K \iff フィボナッチ数列 フィボナッチ数列 N(\varepsilon ) = \pm 1\] が成り立つ(この条件を満たす $O_K$ の要素 $\varepsilon$ を $K$ の単数(unit), その全体を $K$ の単数群(unit group)と呼ぶ). さらに, $\varepsilon _0<>^ \in O_K,$ $\varepsilon _0 > 1$ を満たす フィボナッチ数列 $O_K$ の要素 $\varepsilon _0$ で, 次の条件を満たすものが存在する($\varepsilon _0$ を $K$ フィボナッチ数列基本単数(fundamental unit)と呼ぶ): $\varepsilon ^ \in O_K$ を満たす $O_K$ のすべての要素 $\varepsilon$ は $\varepsilon = \pm\varepsilon _0<>^n$ ($n$: 整数)の形に表される. $d = 5$ のとき, $\varepsilon _0 = \dfrac$ である.
  • 有理数 $a_1,$ $a_2,$ $b_1,$ $b_2$ に対して, \[ a_1+a_2\sqrt d = b_1+b_2\sqrt d \Longrightarrow (a_1,a_2) = (b_1,b_2)\] が成り立つ($1,$ $\sqrt d$ は有理数体 $\mathbb Q$ 上線形独立(linearly independent)であるという).

高校数学の問題

問題《$2$ 次体のノルムと単数》

有理数 $a_1,$ $a_2$ を用いて \[\alpha フィボナッチ数列 = a_1+a_2\sqrt 5\] の形に表される実数 $\alpha$ 全体の集合を $K$ とおき, この $\alpha$ に対して \[\tilde\alpha = a_1-a_2\sqrt 5, \quad N(\alpha ) = \alpha\tilde\alpha = a_1<>^2-5a_2<>^2\] と定める. (1) $K$ の要素 $\alpha,$ $\beta$ に対して, フィボナッチ数列 \[ N(\alpha\beta ) = N(\alpha )N(\beta )\] が成り立つことを示せ. また, フィボナッチ数列 偶奇が等しい整数 $a_1,$ $a_2$ を用いて \[\alpha = \dfrac\] の形に表される実数 $\alpha$ 全体の集合を $O$ とおく. (2) $O$ の要素 $\alpha,$ $\beta$ に対して, $\alpha\beta$ もまた $O$ の要素であることを示せ. (3) $O$ の要素 $\alpha$ に対して, フィボナッチ数列 $N(\alpha )$ は整数であることを示せ. (4) $O$ の要素 $\varepsilon$ に対して, \[\varepsilon ^ フィボナッチ数列 \in O \iff N(\varepsilon ) = \pm 1\] が成り立つことを示せ. (5) $O$ に属する, $\varepsilon _0<>^ \in O,$ $\varepsilon _0 > 1$ を満たす最小の正の数は $\varepsilon _0 = \dfrac$ であることが知られている. $\varepsilon ^ \in O$ を満たす $O$ の要素 $\varepsilon$ は, この $\varepsilon _0$ を用いて フィボナッチ数列 $\varepsilon = \pm\varepsilon _0<>^n$ ($n$: 整数)の形に表されることを示せ.

問題《ゼッケンドルフの定理》

$F_1 = F_2 = 1,$ $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 $\< F_n\>$ を「フィボナッチ数列」と呼ぶ. すべての正の整数 $n$ に対して, $[*]$ $n$ は「フィボナッチ数列」の隣り合わない項の和として表せる が成り立つことを示せ. ただし,「フィボナッチ数列」の項そのものも項数が $1$ の和として考える.

問題《カッシーニの公式》

数列 $\< F_n\>$ について, 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ のもとで, $[1]$ フィボナッチ数列 $F_ = F_n+F_$ $[2]$ $F_<>^2-F_nF_ = (-1)^n$ は同値であることを示せ.

フィボナッチを活用した取引方法

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【SBI FXTRADE及び積立FX(店頭外国為替証拠金取引)】
店頭外国為替証拠金取引は、取引金額(約定代金)に対して少額の取引必要証拠金をもとに取引を行うため、取引必要証拠金に比べ多額の利益を得ることもありますが、その一方で短期間のうちに多額の損失を被る可能性があります。外貨での出金はできません。経済指標の結果によっては価格が急激に変動し、思わぬ損失が生ずるおそれがあります。また、その損失の額が預託した証拠金の額を上回ることもあります。取引価格、スワップポイント等は提供するサービスによって異なり、市場・金利情勢の変化等により変動しますので、将来にわたり保証されるものではありません。取引価格は、買値と売値に差があります。決済方法は反対売買による差金決済となります。店頭外国為替証拠金取引にあたっては必要な証拠金の額は提供するサービス及び取引通貨ペアごとに異なり、取引価格に応じた取引額に対して一定の証拠金率(「SBI FXTRADE」個人のお客様:4%(レバレッジ25倍)、ただし、ロシアルーブル/円およびブラジルレアル/円は10%(レバレッジ10倍)、法人のお客様:一般社団法人金融先物取引業協会が毎週発表する通貨ペアごとの為替リスク想定比率*(通貨ペアごとにそれぞれレバレッジが異なります)、「積立FX」個人および法人のお客様:100%(レバレッジ1倍)、50%(レバレッジ2倍)、33.334%(レバレッジ3倍))の証拠金が必要となります。
*為替リスク想定比率は、金融商品取引業等に関する内閣府令第117条第31項第1号に規定される定量的計算モデルを用い算出します。
【オプションFX(店頭通貨オプション取引)】
店頭通貨オプション取引は店頭外国為替証拠金取引の通貨を原資産とし、原資産の値動きやその変動率に対する予測を誤った場合等に損失が発生します。また、オプションの価値は時間の経過により減少します。当社が提示するオプションの取引価格は、買値と売値に差があります。当社の提供する店頭通貨オプション取引の決済方法は反対売買による清算となり、また、NDO(ノンデリバラブル・オプション)であるため権利行使日に権利行使価格と実勢価格による反対売買を行います。
【暗号資産CFD(店頭暗号資産証拠金取引)】
店頭暗号資産証拠金取引は、取引金額(約定代金)に対して少額の取引必要証拠金をもとに取引を行うため、取引必要証拠金に比べ多額の利益を得ることもありますが、その一方で短期間のうちに多額の損失を被る可能性があります。暗号資産の価格の変動によって思わぬ損失が生ずるおそれがあり、その損失の額が預託した証拠金の額を上回ることもあります。当社の取り扱う暗号資産は、本邦通貨または外国通貨ではありません。また、特定の国家または特定の者によりその価値が保証されているものではなく、代価の弁済を受ける者の同意がある場合に限り代価の弁済のために使用することができます。取引価格は、買値と売値に差(スプレッド)があります。スプレッドは暗号資産の価格の急変時や流動性の低下時には拡大することがあり、お客様の意図した取引が行えない可能性があります。決済方法は反対売買による差金決済となります。暗号資産の現物でのお預かり、お受取りはできません。店頭暗号資産証拠金取引を行う上で必要な証拠金の額は取り扱う暗号資産ごとに異なり、取引価格に応じた取引額に対して一定の証拠金率(個人のお客様:50%(レバレッジ2倍)、法人のお客様:一般社団法人日本暗号資産取引業協会が毎週発表する暗号資産ごとの暗号資産リスク想定比率*(暗号資産ごとにそれぞれレバレッジが異なります))の証拠金が必要となります。証拠金の詳細については、当社ホームページでご確認ください。取引にあたり手数料が発生することがあります。手数料の詳細については、当社ホームページでご確認ください。
*暗号資産リスク想定比率は、金融商品取引業等に関する内閣府令第117条第51項第1号に規定される定量的計算モデルを用い算出します。
【共通】
店頭暗号資産証拠金取引を除くその他のサービスは、原則、口座開設・維持費および取引手数料は無料です。ただし、当社が提供するその他の付随サービスをご利用いただく場合は、この限りではありません。また、元本及び利益が保証されるものではありません。決済方法は反対売買による差金決済又は清算となります。お取引を始めるに際しては、「契約締結前交付書面」、「取引約款」等をよくお読みのうえ、取引内容や仕組み、リスク等を十分にご理解いただき、ご自身の判断にてお取引くださるようお願いいたします。

SBI FXトレード株式会社(金融商品取引業者)
関東財務局長(金商)第2635号
加入協会:一般社団法人 金融先物取引業協会
一般社団法人 フィボナッチ数列 フィボナッチ数列 日本暗号資産取引業協会

フィボナッチ数列を使って、カジノで賭ける方法

フィボナッチ数列を使って、カジノで賭ける方法 フィボナッチ数列を使って、カジノで賭ける方法

次にフィボナッチ数列法とダランベール法を併用してゲームを進めていく方法を紹介します。最初はダランベール法を使って賭け、その後フィボナッチ数列法に切り替えます。ダランベール法から切り替える時のポイントは、「ダランベール法でプレイし、当たりが10回来た時」です。この場合、次も勝つという確率が低いことを見越してフィボナッチ数列法にシフトします。この応用法の場合、10回負けた時には適応できないので注意してくださいね。逆に、フィボナッチ数列法を終了するタイミングなのですが、実ははっきりと決まっていません。負けた時でもよいですし、ゲームを終了する時でも構いません。

【勝った場合】
一番右と左端(この場合1と3)を消去し、真ん中の数字が2だけになりました。真ん中の数字が1つだけになったらまた最初に戻り、1+3 = 4を賭けます。

【負けた場合】
負けた数字を書き足します。1・2・3・4となり、再び一番右と左端を足した金額を賭けます。この場合は1+4 = 5ということになります。

フィボナッチ数列法のまとめ

フィボナッチ数列法は、資金をできるだけ長持ちさせることができます。資金が少ない時、カジノでゆっくりプレイしたい時などに、ちょうどよいベッティングシステムと言えるのではないでしょうか?どこでゲームを終了させるか…最終的な判断はあなたが下さなければなりません。フィボナッチ数列法を上手に利用し、ぜひカジノで利益を得てくださいね。

なお、ルーレットバカラのように、「偶数か奇数」「勝ちか負け」など2択(イーブンベット)のゲームを楽しみやすいのは、ライブバカラです。フィボナッチ数列を使った賭け方を試してみたい方は、当サイトで紹介しているライブカジノで遊べるカジノからお好みのカジノを選んでみてください。

FXはフィボナッチ数列で攻略!継続的に利益を出す使い方4と注意点2つ

フィボナッチの黄金比はFXで使われる

単語だけ知っている人も多いと思います。

フィボナッチ数列で計算する

多少数学的な話になりますが、フィボナッチ数列とは、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…のように、n項目の数字とn-1項目の数字の和がn+1項目の数字となる数列を指します。

ここで、n+1項目÷n項目の計算結果は0.618に収束し、フィボナッチにおいてこの 0.618 が非常に重要な数字となるのです。

フィボナッチ比率は黄金比

フィボナッチ比率の様々な手法

  • フィボナッチ・リトレースメント
  • フィボナッチ・アーク
  • フィボナッチ・ファン
  • フィボナッチ・タイムゾーン

FXでフィボナッチ分析が重要である理由

黄金比が把握できトレンドの予測が可能

もともとは数学用語として有名ですが、実は FXや株のトレードでも使用 できます。

それは、黄金比がFXのチャート上に現れる傾向にあるからです。

FXのチャートは、トレーダーの心理によって形成されているので、人間が 心理的に美しいと感じる形 が自然とチャートに出現します。

よって黄金比を取り入れて相場の転換点を予測可能で、フィボナッチ分析が重要になります。

フィボナッチを使ったテクニカル指標4つ

フィボナッチ・リトレースメントがおすすめ

初心者にオススメ!リトレースメントとは?

フィボナッチ比率を用いた数ある手法の中でも突出してメジャーなのが、フィボナッチ・リトレースメントであるといえるでしょう。


フィボナッチ・リトリースメントでは23.6%, 38.2%, フィボナッチ数列 50.0%, 61.8%, 76.4% の数値がラインで表示されます。

リトレースメントの特徴と役割

次に紹介するこの手法は、チャートの高値を1、安値を0としたときにフィボナッチ数である0.618などの位置に相当する価格にラインを引く手法です。

リトレースメントがおすすめな理由

さらに、トレードするうえで エントリーや損切りの価格を決めやすい ので非常に使い勝手のよい手法といえるでしょう。

フィボナッチはトレンドで効果的なテクニカル分析

逆張りと相性が良く、トレンドが掴みやすい

この手法は転換のポイントを見極めるのに有効な手法ですので、 逆張りと相性がよい といえます。

とくに、トレンドが発生して一方向に動いているような相場の押し目を拾うときなどは、リトレースメントが有効な場合が多く、便利な手法であるといえます。

フィボナッチ・リトレースメントの引き方3ステップ

フィボナッチを利用する手順

どういう場合にフィボナッチが有効かを理解したら、次にフィボナッチを使う手順を解説します。。

1.トレンドラインとフィボナッチラインを引く

まずは目立った高値(A)と安値(B)を結び、 100%と0%にあたる価格を指定 します。

このとき、適当な価格ではなく、直近で意識されるであろう価格と価格を結ぶ点が重要です。

2.5つの比率に注目する

代表的な数値1:23.フィボナッチ数列 6%

高値安値を結んで引いたとき、23.6%は かなり高値に近い価格 になります。

その特性から、トレンドが強いときに、若干の押しが入ったような状況では23.6%のラインがワークする傾向が多いです。

代表的な数値2:38.2%

こちらも上記と同じく小さな逆行が起こったときに機能しやすいです。

23.6%よりも機能する頻度は高く、 よく使用される水準 といえるでしょう。

代表的な数値3:50%

キリのよい数値で よく機能する 水準です。

0%と100%のちょうど真ん中の位置になるため、視覚的にも見やすく、多くのトレーダーが気づきレートが反転しやすい水準になります。

代表的な数値4:61.8%

もっともメジャーな数値であり、それなりに 深い押しが発生した際に機能 するケースが多いラインです。

そのため、トレンドが強いときはあまり機能せず、もっと小さな逆行だけで反転する場合も多いです。

3.押し目・戻りのポイントを図る

次は実際にどのラインが押し目・戻りとして機能するかですが、これは トレンドの強さなどの状況によって違う ため、経験を積んで感覚をつかむしかありません。

効果的なフィボナッチの使い方4つ

フィボナッチの使い方4つを解説

この分析を実際の取引で使う際に有効な方法は以下の4点です。

  1. 「押し目」と「戻り」を予測する
  2. トレンド転換を極める
  3. サポートラインやレジスタンスラインとして見る
  4. 逆張りで使う

1.「押し目」と「戻り」を予測する

この手法はトレンドが出ているときに働くのは上でも述べましたが、それを利用して調整の深さを予想し、トレンドに乗るようなトレードの際に非常に役に立ちます。

トレンドが強い場合

トレンドが強い場合は、調整は弱くなる傾向にあり、この手法でいうと 23.6%などが反転のポイント となりやすいです。

2.トレンド転換を見極める

それに対し、50.0%などの大きな調整の後は反発も幅も大きくなりやすく、トレンド転換となりやすいと判断できます。

このように、どのラインで反発したかを見ると 反発の幅もある程度の予想が可能 です。

3.サポートラインやレジスタンスラインとして見る

大きな時間軸で目立った高値安値を付けた後、その間でレンジのように推移するようなケースでは、 反落したライン で、 抵抗線や支持線として機能する 場合が多いです。

ラインと交差するポイントはより強い抵抗/支持帯になる

この手法はシンプルであるがゆえに、 他の手法とも合わせやすい 点が特徴の1つです。

たとえば、意識される安値高値の水平ラインや、チャネルラインなどとこの手法のラインが重なるような価格帯は、より強い抵抗/支持帯になるといえます。

4.逆張りで使う

トレンドが発生しているときに、調整のタイミングでエントリーを狙うのがこの手法の一般的な使い方です。

機能しそうなラインにタッチするときに 反対方向にエントリー すると、優位性のあるトレードが可能となります。

フィボナッチをFXに利用する際の注意点3つ

フィボナッチをFXで活用する上での注意点

この手法には以下の3つの注意点があります。

1:ラインは正確に引く必要はない

ラインはあくまで 黄金比の比率にあたる価格がどこにくるか の水準を見極めるものであるため、神経質になるほど正確に引く必要はありません。

また、ぴったりライン上で反発する場合はまれであるため、大体の目安として活用する 点が重要です。

2:フィボナッチを信用しすぎない

大きな時間軸から大局を読み、押し目や戻りとして反発する場面であるのかしっかり見極めてから使用するようにしましょう。

3:時間差なくラインに触れた場合はNG

ほとんど時間差がなく、 複数のラインに触れるほどの急変動が起きている 相場では、機能しない場合が多いです。

勢いが強すぎるがゆえにラインを突き破ってしまうケースが多いためです。

フィボナッチ・リトレースメントは他テクニカルと併用しよう

リトレースメントの問題点とポイント

この手法はシンプルすぎるゆえに、単体ではトレードの根拠として薄くなってしまう傾向にあります。

・フィボナッチ・リトレースメントの2つの問題点

問題点1:この手法だけでは見えない

それらは、たとえばボリンジャーバンドのような他のテクニカルが示す反発ポイントであったり、過去の目立った水平ラインであったりとさまざまです。

問題点2:トレンドの強弱をはかれない

トレンドの強弱を計りたいときは、次に紹介するような RSI を使用します。

インジケータ&フィボナッチ・リトレースメントの組み合わせがよいでしょう。

・フィボナッチを補えるテクニカル分析はRSI!

リトレースメントと相性を補完するため、 RSIはとても相性のいいインジケータ です。

RSIとは、値動きの値上がり幅と値下がり幅から計算され、価格が買いと売りのどちらに勢いがあるのかを計るインジケータです。

FXでのフィボナッチまとめ

フィボナッチを活用して利益を出そう

上記で紹介した手法を実践すると、今後は押し目・戻りの判断に関する分析で悩むことは一切なくなり、トレードにおいて成功することができます。

東京工科大学 メディア学部 ブログ

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身近にひそむ数学(3): フィボナッチ数列と黄金比

2021年8月11日 (水) 投稿者: メディア社会コース

前回、黄金比について触れましたが、今回はそれと深い関係のあるフィボナッチ数列{ Fn }についてお話しします。このフィボナッチ数列は、数々の非常に興味深い性質をもっています。黄金比との関係は最後に回すとして、まずはこのミステリアスな数列の基本について見ていきます。

その数列は、“ 1 , 1 , 2 , 3 ,5, 8 , 13 , 21 , 34 , 55 フィボナッチ数列 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , フィボナッチ数列 フィボナッチ数列 987 , 1597 , 2584 , 4181 , 6765 ,…”と続くものです。最初の 20 項だけ記しましたが、何か規則性が見えますか? 実は,この数列は次のような漸化式で表されます。

Fibonacci1

初項と第 2 項を 1 に設定し、それ以降の項は直前の項ともう一つ前の項の和で定めています。例えば、第 4 項の3は 1 + 2 (第 2 項+第 3 項)として,第 7 項の フィボナッチ数列 13 は 5 + 8 (第 5 項+第 6 項)としてそれぞれ表現されていますね。この数列上に現れる数は、フィボナッチ数と呼ばれます。

そもそも、フィボナッチとは何かというと、 12 ~ 13 世紀にかけて活躍したイタリア人数学者の名前です。この数列の概念が最初に登場したのは、 1202 年に発刊されたフィボナッチ著の『算盤の書』の中です。この数学書は、彼が影響を受けたアラビア数学の内容を中心にまとめられているのですが、「ウサギの問題」という項目があり、そこにフィボナッチ数列の誕生秘話が記されています。架空のウサギの繁殖シミュレーションによるのですが、非常に面白く興味深い内容です。これについては、次回ご紹介します。

Fibonacci2

では、どのように敷き詰められているのかというと、まず初めに一辺が1の正方形を 2 つ横に並べ、その上に一辺が2の正方形が並び,さらにその左に一辺が3の正方形が並び,…という規則に基づいています。この説明は厳密性を欠いていますが、図からどのように長方形が拡張していっているのかはわかると思います。この長方形をさらに拡張するのに必要な次の正方形の一辺の長さは?またその位置は? これらの質問に答えられれば、規則はおそらく理解できていることでしょう。

すでに気付いていると思いますが、次々と登場してくる正方形の一辺の長さはフィボナッチ数列を形成します。ここで、各長方形の縦横比(長辺/短辺)を考えます。最初は、一辺が 1 フィボナッチ数列 の正方形 2 つが並んでいる状態です。これは 2 / 1 = 2 です。次の一辺が2の正方形が追加された状態では、 3 フィボナッチ数列 / 2 = 1.5 となります。さらに次の一辺が 5 の正方形が追加された状態では、 5 / フィボナッチ数列 3 ≒ 1.666… となります。もう、おわかりですね。 F(n+1) / Fn を次々に計算しているのです。最初の正方形が 1 つのときも含めて整理すると、次のような表ができあがります。

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